Aug 24, 2023

喝前摇一摇，考前背一背

本文宗旨

距离24考研接近100天，各位150分的苗子应该已经逐渐完成强化阶段，进入真题和模拟题的训练当中👏。笔者在套卷练习的过程中，发现很多题目虽然能给出一套做题思路，但需要开卷查看已有结论，尤其是数学一概率论部分😭，比如利用方差或样本方差判断分布的四条公式，还有各种概率分布和样本分布的方差均值，每次笔者自己做到套卷最后两道选择题时都不得不翻书，更为明显的例子是计算一阶微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 时，强化阶段可以以锻练基本功为由每次遇到都手。在这个阶段除了保证每周两到三张套卷来维持手感的情况下，希望能和观看帖子的诸位一起补充完成这份喝前摇一摇，考前背一背清单，笔者归纳能力有限，也难以避免会出现一些“fat finger”的情况希望能够理解。如有修正或者补充乃至对网站维护的建议，欢迎通过邮件或者issue向我提出。条件允许的话也请为我的仓库点个star，感激不尽！

祝大家全部上岸！

高等数学

中值定理

罗尔定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，若 $f(a) = f(b)$ ,则 $\exist \xi \in(a,b),f'(\xi) = 0$
拉格朗日中值定理

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exist \xi \in(a,b)$ ,有 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)$

出现 $f$ 与 $f'$ 的关系时多考虑，只有一个 $f$ 时找 $f(x) = 0$
柯西中值定理

$f(x)$ , $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\exist \xi \in(a,b)$ ,有 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

一般 $f$ 和 $g$ 一个具体一个抽象
泰勒公式

这个都要来查的建议先复习到两点😡

🌟在出现 $f$ 和 $f''$ 的时候重点考虑

常见积分

不定积分

\int \tan x dx = -ln|\cot x|+c

\int \frac{dx}{\cos x} = ln|\frac{1}{\cos x}+\tan x|+c

\int \frac{dx}{\sin x} = ln|\frac{1}{\sin x}-\tan x|+c

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+c

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c

\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+c

\int \tan^2 x dx = \tan x -x+c

\int \cot^2 x dx = -\cot x-x +c

简单的二次曲面（记名字）

单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1$
双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1$

以上统称旋转双曲面
椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = cz$
双曲抛物面（马鞍面） $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = cz$

空间几何

曲面的法向量：

曲面: $F(x,y,z) = 0$ ,法向量: $\vec{\lambda} = (F'_x,F'_y,F'_z)$

曲线的切向量：

$F\left\{ \begin{array} x= \phi(t) \\ y = \Phi(t) \\ z = \omega(t)\\ \end{array} \right. \\ \vec{\tau} = (\phi'(t),\Phi'(t),\omega'(t))$

曲面的交线：

$\left\{ \begin{array} F(x,y,z) = 0\\ G(x,y,z) = 0 \end{array} \right.$

${ \vec{\tau} = ( \left|\begin{matrix} F'_y & F'_z \\ G'_y & G'_z \\ \end{matrix}\right| , \left|\begin{matrix} F'_z & F'_x \\ G'_z & G'_x \\ \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} F'_x & F'_y \\ G'_x & G'_y \\ \end{matrix}\right|) }$

微分方程

一阶非齐次线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$

y = ( \int q(x)e^{\int p(x) dx}+c )e^{-\int p(x) dx}

曲线与曲面积分

Jacobi行列值

${ udvdw = \left|\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}\\ \end{matrix}\right| dxdydz }$

第一型曲线积分(“一投，二代，三计算”)

${ \left\{ \begin{matrix} ds = \sqrt{1+(y'_x)^2}dx \\ ds = \sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt \\ ds = \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta \end{matrix} \right. }$

第二形曲线积分

一投，二代，三计算

${ \oint_\Gamma P dx + Q dy +R dz = \int_\Gamma [p(x'_t)+ Q(y'_t)+ R(z'_t)]dt }$

斯托克斯公式（封闭无奇点）

${ \oint_\Gamma P dx + Q dy +R dz }$

${ = \iint_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial R}{\partial y})dxdy }$

可以同旋度公式一起记

${ rot = \left|\begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{matrix}\right| }$

第一型曲面积分

${ \small \iint_\Sigma f(x,y,z) dS \\ \scriptscriptstyle = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy }$

第二型曲面积分（别总是无脑上高斯）

\small \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

直接投影 $\tiny \iint_{S_1}Pdydz+\iint_{S_2}Qdzdx+\iint_{S_3}Rdxdy$
转换投影 $\footnotesize \iint_{D_{xy}}[P(-\frac{\partial z}{\partial x})+Q(-\frac{\partial z}{\partial y})+R]dxdy$
高斯公式（建议最后再考虑） $\small \iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$

概率论与数理统计

正态总体下的常用结论

正态分布
$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
已知期望和方差下的总体分布
$\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \mathcal{X}^2(n)$
未知期望已知方差下的总体分布

${ \footnotesize \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^{n}(\frac{x_i-x}{\sigma})^2\sim \mathcal{X}^2(n-1) }$
未知方差已知期望下的总体分布

${ \footnotesize \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1) \frac{n(\overline{X}-\mu)^2}{S^2}\sim F(1,n-1) }$