李林108题思路记录

写在前面：

之所以要对李林老师的108题做出思路整理，是由于108题出得足够精简👏👏👏，在基本涵盖所有考点的同时将题量控制在最小，与“喝前摇一摇，考前背一背”系列不同的是，本文基本不会写入具体的公式，而主要从思维逻辑层面，详细阐述面对复杂的，新颖的题型应该如何思考🧠，在面对新颖的考题时不至于完全没有思路。

函数的性质（预备知识）

这一章主要考虑函数的奇偶性，单调性等，单独很难出考题，将会在其他知识点处再做详细分析。

极限的定义和性质

小题为主，和上一考点一样，单独出出不了难题。

函数极限计算

如果计算量足够的话，没有无尽的泰勒展开解决不了的问题，如果有，那就再多展开一阶，但要注意处理复合函数的时候不要丢掉内层或外层函数的某一项。下面提重点拎出几条重要的可以简化计算的思路和计算要点。

  • ∞−∞\infty-\infty :提出公因式，尤其是面对指数无穷大的时候
  • 1∞1^\infty:使用uv=evln(u)u^v=e^{vln(u)}
  • 无穷小比无穷大好处理，条件允许的话尽量转换一下。
  • 洛必达可以求出非0单项式的值，但用洛必达求出来的结果和原来的不是等价无穷小，不信的话自己用泰勒展开证一下😤
  • 分子分母有定积分的话最好洛必达，但要注意是否符合条件（虽然笔者几乎做过的所有这种题都可以洛必达）

数列极限

这一章本身不是很难，但他是中值定理的一个必备基础，单拿这一章出来也可以出很多很难的证明题，求数列极限的方法在张宇强化里介绍的很全面，这里先回顾一下

  • 归结原则：利用f(x)f(x)和xnx_n的性质求f(xn)f(x_n)的极限
  • 研究递推公式（带三角函数的递推公式还是建议记一下和差化积公式🥵，要不不好推）
  • 单调有界准则
  • 夹逼

关于证明问题，这里先归纳三个重要心法

  • 发现：指的是张宇老师常说的诡计多端的0（加减）和1（乘除），一旦题干条件给出来了就尽可能往要证的式子里代。
  • 构造：指构造原函数，下下下一章会针对这一部分归纳总结，遇到一些特殊的结构反应要足够剧烈🥵
  • 定理：首先要纯纯地背，至于怎么用，下下下一章会总结分析

函数的连续性与间断点

重点关注无穷远点和无定义点即可，运用极限的规则，常规题很好判断，如果难起来应该也只能到这种程度：

  • 第一题（2024版），将极限与间断点相结合，一般情况下先化极限再判断间断点即可，比较新颖，但难度不是很大

导数的定义

主要和连续性放在一块考，用于处理一些极限问题，同时还有反函数求导，记住公式就行，单独考不会考得太难。

** 108题上有一个很经典的题，可以说是易错点也可以说是难点，那就是三角函数在无穷远处的震荡问题 **

lim⁡x→0∫0xcos1tdtx \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int _0^x cos\frac{1}{t} dt}{x}

如果对直接洛必达，结果是震荡的，对分母先分部积分，再洛必达，结果为0，正确答案取0。

导数计算，相关变化率

主要是对上一个知识点的应用，要求理解好导数的实际意义，并没有需要被专门强调的思路。

微分中值定理和泰勒公式

这是整个考研数学的难点，大多数情况下会出证明题，正如之前所介绍的要点：发现，构造，定理，在这个部分笔者会根据自己在实际做题中卡住的思路进行记录，完善和补充

  • 遇到二阶导函数和原函数的关系
    1. 找泰勒展开
    2. 找原函数，使其求导之后具有要证明的元素
  • 要证明一个没有不等式的式子
    1. 展开化简
    2. 化简之后找到一个上下限（零点存在定理）

导数的应用

这一章是计算量暴涨的一章，同时考法也开始变幻莫测，做题要有思路，应该对微商，微分的定义足够深刻，除此之外总结一些易错点和思路。

  • 面对定积分+抽象函数下的求导问题，思路是将抽象函数的自变量换元，这一步在考场上一定要自己手动推理一遍，重点是改动后的积分上下限，还有凑微分时原积分的正负号变化，题目做多了就很容易想当然。
  • 面对绝对值函数，一定要相信这都是Paper Tiger，使用最最基本的分类讨论或平方即可解决的问题，不要怕，你弱他就强💪。

积分计算

奠定考研数学计算量的基础章节，计算量大的时候很容易在正负号上搞混，别的没有什么好展开的，如果要展开的话得写好多好多😤,这里写一点冷门的

  • 定积分中过于复杂的部分可以通过对称或区间再现化为常数，例如arctanex+arctane−x=Carctan e^x +arctan e^{-x} = C
  • 将简单部分塞入微分来处理复杂部分
  • 只有三角函数的齐次分子分母积分，化成分母比分子高二阶的格式（把通分把分子拆出去，只留正余弦平方和化出的1），然后提1cos2x\frac{1}{cos^2x}凑tanxtanx积分。

定积分的应用

这一部分主要考察三个点，一是积分的基本功，二是计算量 三是审题

多元函数微分学

考察四个概念：连续，偏导数存在，可微，偏导数连续。基本不会在思路上为难，把握好概念计算准确即可。

复合函数，隐函数的偏导数，全微分计算

实函数：运用链式法则，只会在计算量上有难度

隐函数

  • 利用公式直接求解
  • 利用复合函数求导法则计算
  • 利用一阶全微分形式的不变性

含偏导数等式

  1. 凑全微分
  2. 化成常微分方程

多元函数极值与最值

记好条件极值和非条件极值的基本算法

难点:

  • 针对条件极值，很有可能在计算条件的过程中添加计算量，计算量很可能大到你发现不了这是一个多元函数极值问题。
  • 可能与一些不等式结论相结合

多元函数微分 方向导数，梯度，散度，旋度

纯粹的喝前摇一摇考前背一背系列。

多元函数微分

这里的108题有一些很新颖的思路，这里列举出一些。

  • 使得某微分方程的解是周期函数，且涉及到周期函数的积分的时候，要考虑调整积分后的C。这是使得周期函数积分后仍然是周期函数的唯一要素
  • 在判断三个变量之间的微分方程的时候，不要一昧地看到定积分就求导，消去其中一个变量才是最重要的。

二重积分

计算量会集中在三重积分部分，同样针对108题里的一些不好想的思路做一点阐述

  • 面对用参数方程表示的积分域，通常需要大致画个图，然后通过换元的方法，用t换掉x或者y(使用Jacobi行列式)，然后在新的坐标轴上画出原积分域对应过来的面积（这是难点，纯靠想)，最后在新的面积里进行积分。
  • 如果被积函数和积分区域限定有很强的相似的地方，可以考虑换元改变上下限。Jacobi行列式+画图

空间解析几何

但从知识点上看是比较基础的，但求旋转体的曲面方程比较考验数学功底。没有太多思路上的创新的点，相关公式会在”喝前摇一摇，考前背一背“里完善。

经济数学

数三独占

无穷级数

重点记一下求和函数的方法：

  1. 逐项求导
  2. 逐项积分
  3. 恒等变形（泰勒展开逆用）
  4. 微分方程（最难被想到的一集，虽然题目里大概率会给出暗示）

判断收敛与发散：

  • 判断某有上下限积分收敛时，若在x0x_0处有第二类间断点且对x积分，应当保证在改间断点处无穷大的阶数小于lim⁡x→x01x−x0\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{1}{x-x0}

三重积分，曲线积分，曲面积分

这一章个人看来是信息量最大的一章，无论是题量还是思路。

  • 在处理第二型曲面积分的时候一定要考虑转换投影法
  • 解含参数的全微分方程的时候，可以利用∂2u∂x∂y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}来构建等式
  • 面对两个无法积分的式子的和时，可以考虑是否可以通过对其中一个进行分布积分再利用和将另一个积分消除的思路
  • 灵活运用曲面积分的性质，将常量提出来后再使用高斯公式

行列式计算

公式要背牢，像那些爪形异爪形还有递推法求矩阵的思路要有，一般不会很难但要尽量算对。

矩阵的计算

在对题干中的等式信息转换的时候，要有一个方向，不能太盲目

  • 方向一：尽可能消除逆矩阵，左右同乘，矩阵多项式的逆举证除非是要求的，要不都得去除逆矩阵才能展开消除
  • 方向二：化出要求的矩阵，利用它与另一矩阵的积的有关性质，包括秩和逆
  • 方向三：对于实矩阵，化得差不多了就代进去吧，实矩阵要是能化到没计算量的程度那就没专门整个实矩阵的意义了。

矩阵方程

考计算比较多，如果是含参数的实矩阵直接暴力设未知量也是个不错的选择

初等矩阵

表现得可能比较隐晦，要能够看出矩阵的乘法是行变换或列变换的话难度不会很大

矩阵的秩

记结论！！！

算是线性代数前期的一个难点，证明题比较多，考小题的概率大，结论记好了遇到题目要能反应过来，做到知行合一

向量相关性

这一章和上一章很类似，只是将矩阵拆成了向量可以做的变化更多了，本质上还是一样的结论，主要是为后面的线性方程组做铺垫。

含参数线性方程组

考法主要是判断方程有解，无解以及计算通解的情况，考法比较死。一个建议就是打草稿的时候写清楚一点，一般也不会算错，但千万别抄错了。

抽象线性方程组

向量相关性那一章的具体应用，可能考求计算公共解和同解的考法比较多，区分这两个概念。

  • 公共解

    1. 求出非0公共解：直接联立求解即可
    2. 判断两非0方程组有公共解：判断二者通解是否线性相关

  • 同解

    将其中一个方程组的解代入另一方程组。

相似矩阵

很重要的一个知识点，但往往很简单，只要会求特征值特征向量即可。

但要注意判断相似不仅仅要特征值一样，还要存在可以使之相互转化的矩阵

相似的性质

  1. 迹相等
  2. 行列式相等
  3. 秩相等
  4. 特征值相等
  5. 可以使用∣λE−A∣=∣λE−B∣|\lambda E-A| = |\lambda E-B|，得到的关于λ\lambda的式子化简后应当完全一致

实对称矩阵相似

按道理是相似里的一小章，但可能考的比较多单独列出来。

实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交

因此面对三阶矩阵，特征向量可以知一推三

二次型的标准型和规范型

先区分这两个的概念（个人理解）

  • 标准型：通过正交矩阵的合同变换得到的，几何上只旋转，不拉伸
  • 规范型：通过可逆变换得到的，几何上表现为旋转拉伸，但保留原本的拓扑性质

配方小技巧：

  1. 配方时首先把所有含有x1x_1的项全部配成一项，同理处理x2x_2
  2. 没有平方项时，利用平方差公式
  3. 即使遇到很离谱的配方参数，也请按照上面两条思路来。

二次型的正定及负惯性指数

就是两个概念，计算还是上一章的内容。

概率有关公式的计算

这一部分很简单，要注意不要漏看条件，比如说是否独立，是否相容，搞清楚概念基本都能分析出来。

随机变量的分布函数，概率密度的性质

主要考察两个性质，一个是概率密度积分和为1，还有一个是分布函数在负无限为0，正无限为1，很简单但考的比较多。

常用分布有关概率计算

典型的喝前摇一摇考前背一背考点（虽然整个概率论都是这样😢）记好每个分布的方差均值即可。

一维随机变量的函数分布

重点在于考察积分，还有结合分布函数概率密度性质,主要是为二维随机变量那一章做铺垫。

换元求分布：

  1. 公式法：针对概率密度使用，即积分换元
  2. 定义法：一定要画图！！！ Y=g(X)Y = g(X) 转化为 FY(y)=P{g(X)<y}F_Y(y) = P\{g(X)<y\}

二维随机变量的分布及函数的分布

离散型：要注意X=Y的条件不要多算或者少算

连续型：一定要画图！！！！！✨

判断边缘概率密度时若使用卷积公式，一定判断准上下限（画图）

针对求min⁡{x,y}\min\{x,y\}和求max⁡{x,y}\max\{x,y\}的分布式，尽量死记公式不要现场推，很容易推错

  • z=min{x,y}z = min\{x,y\} ,P(z) = 1-(1-P(x))(1-P(y))
  • z=max⁡{x,y}z = \max\{x,y\},P(z) = P(x)P(y)

分布已知，求数字特征

记好协方差，相关系数，方差的公式和四则运算

若遇到D(X‾2),D(S2)D(\overline{X}^2),D(S^2)时，要想到利用样本分布的方差均值结论来计算

样本分布及参数估计

重点在于背公式，即四条正态总体下的结论

假设检验的基本思路（要么正着来要么反着来）

  1. 带等号的是原假设
  2. 确定分布
  3. 找出拒绝域 w ，一般 α\alpha 是一个小值，对应的区域就是拒绝域，即 P{样本在拒绝域W}=αP\{ 样本在拒绝域 W \} = \alpha

最好在背完后亲手推导一遍。

参数估计属于考前突击类型，属于考纲年年有但就是不考这种，练到这方面题目的机会也少，因此很容易忘。

⌛️ Last Modified: 07:21:11 13 June 2024 UTC